ДОПОЛНЕНИЯ   К   ПРИМЕРУ   5

Точное решение задачи на рис.1 для скоростей после абсолютно упругого удара тел :
V1y = ( M1 – M2 ) V1 / ( M1 + M2 ) ;                                                                          (А)
V2y = 2 M1 V1 / ( M1 + M2 ) .                                                                                                (А)
Результаты точных расчетов представлены в табл.1т,2т,3т.

                                                                                                                         Таблица 1т

                                                                                                                         Таблица 2т

                                                                                                                         Таблица 3т

Точные значения из табл.1т,2т,3т принципиально ничего не меняют в анализе, проведенном на основании табл.1,2,3 в брошюре, затрагивающей проблему ВДПР. Не изменяются и выводы, сделанные в примере 5.
Но само точное решение задачи и особенно способ его получения скрывают в себе один из удивительных парадоксов физики и роли формальной математики в физике. Этот вопрос не такой уж простой, как кажется на первый взгляд и как принято считать в курсе физики. Перейдем к развернутому изучению способов решения задач, аналогичных примеру на рис.1, и вытекающим из этого оценкам старой энергетики и новой энергетики.
Сначала рассмотрим частный случай, когда тела на рис.1 испытывают абсолютно неупругий удар, после которого они двигаются вместе в положительном направлении оси Х и с одинаковой скоростью Vy . Для нахождения скорости Vy (единственного неизвестного данной задачи) нужно одно уравнение. Таким уравнением, дающим истинный результат, является ( заметьте ! ) не равенство “живых сил” по старой энергетике, а равенство импульсов (кинетических энергий по новой энергетике) до и после удара:  M1 V1 = ( M1 + M2 ) Vy.  Отсюда :
Vy = M1 V1 / ( M1 + M2 ) ,                                                                                                     (Б)
что, например, для опыта I из табл.1т дает результат  Vy = 0,00998 м/с.
Далее переходим к вариантам, когда тела на рис.1 соударяются не абсолютно неупруго. Абсолютно упругому удару, для расчета которого нужно дополнительное уравнение якобы кинетических энергий по старой энергетике, будет посвящено все последующее изложение. А сейчас небольшое замечание. Пусть заданы частные случаи, когда тело 1 на рис.1 ударяет тело 2 не абсолютно неупруго и не абсолютно упруго, а почти абсолютно неупруго с вариациями в механизмах взаимодействия тел при ударе. По физическому смыслу в опыте I (имеются ввиду те же начальные условия) могут наблюдаться варианты, когда после такого удара : тело 1 продолжит двигаться влево на рис.1 со скоростью V1y сколь угодно менее 0,00998 м/с, или даже просто остановится, или тело 1 будет двигаться вправо на рис.1 со скоростью V1y также сколь угодно менее 0,00998 м/с (или даже равной по модулю, или не намного большей по модулю скоростью), и во всех этих случаях тело 2 после удара приобретет скорость с направлением влево - очень близкую к результату по формуле (Б):  V2у  = 0,00998 м/с. В каждом из перечисленных вариантов вектор скорости V2у  не равен вектору скорости V1у , т.е. число неизвестных - два. Для точного теоретического определения двух неизвестных задачи помимо уравнения закона сохранения импульса требуется дополнительное условие. Искать вид такого условия – это физическая безграмотность – сразу скажет законченный “теоретик”, по убеждениям которого существует единственный математический подход : записать второе стандартное уравнение (в него должны входить, конечно же, “живые силы” тел), решить систему двух уравнений, и искомые две величины «без проблем» будут вычислены. Но рассматриваемая задача является (поучительным для формалистов) примером, когда формальный подход, усугубленный использованием “живых сил”, не срабатывает и ведет в тупик. Это будет показано далее, в том числе исходя из правильного метода определения истинных скоростей тел после удара.
Попытка рассчитать почти абсолютно неупругий удар через систему уравнений, включающую равенство посредственно “живых сил” тел до и после удара, приведет к результату, совпадающему с решением (А), которое справедливо только для абсолютно упругого удара. Это решение неудовлетворительно применительно к почти абсолютно неупругому удару ввиду его полного несоответствия физическому смыслу : при начальных условиях, совпадающих с опытом I, фактическая скорость  V2у  0,00998 м/с  тела 2 после почти абсолютно неупругого удара (см. предыдущий абзац) в 2 раза меньше рассчитанной по стандартной системе уравнений, что видно из сравнения с величиной из табл.1т  и из сопоставления формул (Б) и (А) ; при тех же начальных условиях, совпадающих с опытом I, модуль фактической скорости IV1уI ~ 0,00998 м/с  тела 1 после почти абсолютно неупругого удара (см. предыдущий абзац) порядка в 499 раз меньше рассчитанного по стандартной системе уравнений, что видно из сравнения с одноименным модулем из табл.1т  и из сопоставления формул (Б) и (А), да и вектор фактической скорости V1у может иметь не только отрицательное направление по оси Х на рис.1, иллюстрирующем абсолютно упругий удар. Единственная надежда для “живых сил” оказаться полезными при расчете почти абсолютно неупругого удара состоит в учете возможного нагревания тел и прироста их внутренней энергии, идеальная величина Q которого должна вычитаться из начальной кинетической энергии тела 1 по старой энергетике при записи второго уравнения составляемой системы. Задача должна решаться автоматически, и идеальная величина прироста внутренней энергии (или ее доля Q/T1 по отношению к начальной “живой силе” тела 1) должна фигурировать во втором уравнении уже при его написании, т.е. не после, а до численных расчетов, т.е. без предугадывания и подгонки результатов. А этого как раз и нельзя сделать, т.к. истинное значение Q может быть точно рассчитано только на основании предварительно найденных каким-либо способом двух истинных конечных скоростей тел. Так, в примере 4 представляемой брошюры по “живым силам” при абсолютно неупругом ударе Q/T1 = 50,0%, чему не обязана быть равной доля в случае абсолютно неупругого удара в задаче и решении (Б) , например, для опыта I из табл.1т,2т :
Q/T1 = ( 25Дж – 0,5 ( M1 + M2 ) Vy2 ) / 25Дж = 99,8% , а при почти абсолютно неупругом ударе конкретное Q/T1 отличается и от последнего значения. Неопределенность Q до решения задачи сводит на нет все попытки формально и через “живые силы” получить ответ задачи с почти абсолютно неупругим ударом.
Здесь и глобально во всех других случаях “живая сила” вообще не участвует в формировании послеударной динамики взаимодействующих тел, и ее реальный физический смысл (в отличие от приписываемого старой энергетикой смысла) намного уже и не совпадает с объективным понятием кинетической энергии. Любая задача на столкновения тел может быть решена только путем анализа в каждом контакте - импульсов упругих и неупругих сил взаимодействия тел и соответственно импульсов самих тел, где квадратами скоростей тел (“живыми силами”) «и не пахнет» (а если и пахнет, то пахнет конфузом для них). Обо всем этом подробнее рассказано далее.
Наконец, займемся вплотную абсолютно упругим ударом, характеризующимся полным отсутствием прироста внутренней энергии тел, но не становящимся от этого элементарным в изучении. При просмотре истории обсуждаемого вопроса может возникнуть впечатление, что “живая сила” заслужила в официальной физике термин «живая» еще и потому, что «с блеском» оживила решение задачи об абсолютно упругом ударе двух тел. Ведь простая формальная запись стандартного уравнения кинетических энергий по старой энергетике в системе уравнений заканчивается выведением «на глазах восхищенной публики» итоговых формул, дающих истинные скорости двух тел после удара. Но на поверку, это оказывается не более чем фокусом, который имеет свой секрет и который, как любой фокус, является обманом. Секрет фокуса будет раскрыт в конце настоящего дополнения к примеру 5 брошюры, а сейчас о методе расчета абсолютно упругих ударов в целом.
Методология “теоретиков” в данных задачах (как и во многих других задачах) ограничивается догмой : (n) неизвестных задачи находятся из именно математической системы с (n) именно общеизвестными стандартными уравнениями, одним из которых является именно уравнение с “живыми силами” тел до и после удара. Эта догма сработала в частном случае при абсолютно упругом ударе двух тел (n=2) , но не спасает в общем случае, например, уже при абсолютно упругом ударе одновременно трех тел (n=3). Как и любая неправильная идея, указанная догма при попытке следовать ей в итоге доводит до абсурда – для определения 3-х неизвестных конечных скоростей необходимо третье уравнение (помимо равенства “живых сил” и равенства импульсов) в системе, описывающее какую-то неоткрытую доселе физическую величину, на роль которой почему бы не взять по аналогии хотя бы произведение :
M V3 / 3  -  можно назвать «супер живая сила» - “требуется” для расчета 3-х неизвестных ;
M V2 / 2  -  называется “живая сила” – “требуется” для расчета 2-х неизвестных при абсолютно упругом ударе двух тел ;
M V1 / 1 = M V  -  называется «импульс тела» – требуется для расчета 1-одной неизвестной при абсолютно неупругом ударе двух тел.
Идеалистическая философия и методология отождествления Физики с формальной Математикой не выдерживает критики даже в главном аргументе старой энергетики, коим являются задача с абсолютно упругим ударом двух тел и способ ее решения. Покажем, что эта задача (и все задачи на удары тел) однозначно разрешается без отправного пункта в виде явной системы двух уравнений, но при дополнительном (к закону сохранения импульса) условии, нетрадиционном в курсе физики. Причем, это дополнительное условие, предопределяемое самим физическим смыслом, не содержит даже намека на “живые силы” тел.
Для вывода формул расширим задачу на рис.1 до общего случая абсолютно упругого удара двух тел, см. рис 1т. Помимо начального и конечного состояний пары тел, на рис.1т изображено промежуточное состояние, возникающее непосредственно при взаимодействии тел. Это состояние опишем на наглядном примере взаимодействия двух абсолютно жестких тел, между которыми находится податливая винтовая пружина с храповым механизмом, укрепленная на теле 2.

После начального состояния, в котором упругая пружина была недеформированной, тело 1 приближается к телу 2, входит в контакт с пружиной и сжимает ее. Сжатие пружины продолжается некоторое время и затем прекращается, а самопроизвольное разжатие пружины предотвращает храповик. В такой сцепке (выделяемой как промежуточное состояние пары тел на рис.1т) два тела могут двигаться сколь угодно долго в зависимости от того, когда будет освобожден храповик. Совершенно очевидно, что промежуточное состояние эквивалентно абсолютно неупругому удару. Суть промежуточного состояния не меняется даже в случае непосредственного удара двух почти абсолютно жестких тел, когда их упругое деформирование происходит почти мгновенно, и отрезок времени максимальной деформации (он же - длительность промежуточного состояния) ничтожен.
Переход от начального к промежуточному состоянию пары тел является первым этапом решения задачи. В записи через формулы он не содержит трудностей, т.к. по динамике как бы абсолютно неупругий удар легко разрешается с помощью закона сохранения импульса :
M1 V1 + M2 V2 = ( M1 + M2 ) VО  ,  где  VО  -  скорость тела 1 – она же скорость тела 2 – она же общая скорость единого тела  ( M1 + M2 )  во время промежуточного состояния, см. рис.1т. Искомая скорость  VО  равна :
VО =  .                                                                                                       (В)
При переходе от начального к промежуточному состоянию физически происходит следующее в результате сжатия : импульс силы упругости вправо уменьшает импульс тела 1, т.е. уменьшает скорость тела 1 на величину  ( V1 - VО ) ; точно такой же импульс силы упругости влево увеличивает импульс тела 2, т.е. увеличивает скорость тела 2, соответственно, на величину  ( VО - V2 ) . На этом первый этап завершается.
Второй этап решения задачи описывает переход от промежуточного состояния (в котором тела двигаются со скоростью  VО )  к конечному состоянию пары тел (в примере с зафиксированной сжатой пружиной такой переход наблюдается после высвобождения храповика, когда пружина разжимается). Импульс силы упругости при разжатии по величине не отличается от импульса той же силы упругости при сжатии. С учетом этого становится ясной динамика тел к концу разжатия, см. рис.1т : тот же по величине импульс силы упругости вправо уменьшает скорость тела 1 на уже известную из сжатия величину  ( V1 - VО ) , т.е. на эту величину конечная скорость  V1у  тела 1 меньше чем скорость  VО ; точно такой же импульс силы упругости влево увеличивает скорость тела 2 на уже известную из сжатия соответствующую величину  ( VО - V2 ) , т.е. на эту величину конечная скорость  V2у  тела 2 больше чем скорость  VО . Полученной информации достаточно для оформления ответа задачи.
На основании предыдущего абзаца можно записать формулы для скоростей тел после абсолютно упругого удара двух тел :
V1у  = VО - ( V1 - VО ) = 2 VО - V1 ;                                                                         (Г)
V2у  = VО + ( VО - V2 ) = 2 VО - V2 .                                                                                    (Г)
Если бы задача решалась в конкретных числах начальных условий на рис.1т, то после расчета  VО  по формуле (В) - нетрудно напрямую рассчитать конечные скорости по формулам (Г). Если продолжать аналитический вывод решения в общем виде, то остается подставить (В) в формулы (Г) :
V1у  =  =  ;                    (Д)
V2у  =  =  .                    (Д)
Формулы (Д) являются хрестоматийными (приведенными в любом учебнике и справочнике по физике и механике) формулами, позволяющими однозначно определять истинные скорости двух тел после абсолютно упругого удара. Но в настоящем выводе эти формулы получены без использования равенства “живых сил” тел (закона сохранения кинетической энергии по старой общеизвестной энергетике), а получены из одних лишь «импульсов», являющихся энергетическими понятиями (механическая работа силы и кинетическая энергия тела) по новой объективной энергетике. Т.е. опять приходится констатировать, что “живые силы” не так уж незаменимы и безгрешны, как утверждали и утверждают формалисты.
Ну и на последок, осталось разобраться – каким же образом  “живые силы”  все-таки оказались в стандартной системе двух уравнений (для случая абсолютно упругого удара двух тел) , решая которую также можно прийти к формулам (Д). Аргументация формалистов известна. А чем в действительности объясняется появление миража “живых сил” во втором (помимо закона сохранения импульса) уравнении системы - станет ясно из нижеследующего анализа.
При проведении исследования снова обратимся к паре тел на рис.1т, претерпевающих через промежуточное состояние типичный абсолютно упругий удар. Введем вспомогательные обозначения :
JC = ? FС(t) dt  -  модуль полного импульса силы упругости при сжатии взаимодействующих тел ;
JР  =  ? FР(t) dt  -  модуль полного импульса той же силы упругости, но при разжатии взаимодействующих тел , причем, как говорилось выше :  JР = JC = J .
Тогда можно записать переход от начального к промежуточному состоянию тела 1 посредством приращения (т.е. вычитания из более позднего – более раннего) импульса тела 1 под действием вектора импульса JC силы упругости (подобно формуле (4) брошюры) , см. формулу в строке 1 табл.Т. Аналогично для тела 2.

                                                                                                                         Таблица Т

Строки 2 и 3 табл.Т получены математическими преобразованиями строки 1. Таким же способом можно записать переход от промежуточного к конечному состоянию на рис.1т  тела 1 посредством приращения (т.е. вычитания из более позднего – более раннего) импульса тела 1 под действием вектора импульса JР силы упругости (подобно формуле (4) брошюры) , см. формулу в строке 4 табл.Т. И аналогично для тела 2. Строки 5 и 6 табл.Т получены математическими преобразованиями строки 4.
Далее выпишем несколько равенств. Для тела 1 скорость VO  из строки 3 просто является ею же VO  из строки 6 , см. строки 7 и 8.  С учетом  JР = JC = J  строка 8 превращается для тела 1 в формулу строки 9. И аналогично для тела 2. Поскольку в строке 9 автоматически  2 J = 2 J  , то справедливо равенство :
M1 ( V1 – V1y  ) = M2 ( V2y  - V2 ) ;
M1 V1 + M2 V2  = M1 V1y  + M2 V2y  .                                                                                  (Е)
Это ни что иное как закон сохранения импульса замкнутой группы в данном случае двух тел. Когда-то он был открыт опытным путем. Но теперь видно, что этот закон имеет прямое теоретическое объяснение в рамках новой энергетики, корректно связывающей баланс работ внутренних сил и кинетические энергии (импульсы) тел в замкнутой группе тел по формулам (1), (3), (4) из брошюры. Уравнение (Е) – это истинный вид закона сохранения объективных кинетических энергий при ударах тел. Для дальнейшего изложения важно, что равенство (Е) является первым основным уравнением в любой системе двух уравнений, описывающей абсолютно упругий удар двух тел.
Применение к телу 1 выражения строки 10 в табл.Т с использованием зависимостей строк 2 и 5 - приводит к формулам строк 11 и 12. Аналогично для второго тела 2. Приравнивание правых частей формул строки 12 ведет к равенству :
V1 + V1y  = V2 + V2y  .                                                                                                          (Ж)
То же и так же (без обращения за помощью к “живым силам”, мнящим себя “незаменимыми”) получается по формулам (Г) выше. И с точки зрения новой энергетики, равенство (Ж) является вторым основным уравнением в основной системе (Е-Ж) двух уравнений рассматриваемой задачи. Это важное равенство фигурирует и в формальном решении по старой энергетике - совместно с формулой (Е) оно обеспечивает вывод окончательных формул (Д) , показываемый почти в каждом учебнике физики. Но нельзя не заметить принципиального отличия в ценности равенства (Ж) совместно с энергетической теорией : равенство (Ж) , сочетаемое с новой энергетикой, подкреплено реальным физическим смыслом и является базисным вместе с равенством (Е) , ибо они оба напрямую получены из базисных уравнений табл.Т и представляют собой единую систему во всех аспектах; в то время как, при просмотре старой энергетики создается ошибочное впечатление, будто бы равенство (Ж) – всего лишь “бессмысленный” производный результат промежуточных математических выкладок.
В действительности же, по-настоящему бессмысленным физически является именно протеже старой энергетики – уравнение сохранения суммы “живых сил” тел до и после абсолютно упругого удара двух тел, а его математическое обличие – рядовое в бесконечном множестве других равенств, которые порождаются абстрактными сложными комбинациями именно из базисных уравнений табл.Т в строках 9 и 12. Например, можно для тела 1 составить любую комбинацию :
или (2J)/(2VO) или (2VO)/(2J) или (2J)?(2VO)2  или (2J)2?(2VO) и т.д. и т.п. ,
а затем приравнять к такой же комбинации для тела 2. Получится комбинаторное уравнение, которое может быть вставлено в систему двух уравнений (Е-Ж) вместо уравнения (Е) или, что более привычно, вместо уравнения (Ж). Результат решения системы из основного и производного уравнений все равно совпадет с хрестоматийными формулами (Д).
Вот мы и подошли к упоминавшемуся ранее фокусу с “живыми силами” в задаче абсолютно упругого удара двух тел. Ситуация вырисовывается просто анекдотическая. Посмотрим конкретно, чем закончится использование в комбинаторном уравнении еще одной комбинации для тела 1 и тела 2, см. табл.Т :
(2J) ? (2VO)  =  (2J) ? (2VO) ;
M1 ( V1 – V1y  ) ( V1 + V1y )  =  M2 ( V2y  - V2 ) ( V2y  + V2 ) .
Перемножая скобочки «в лоб» или применяя справочную формулу разности квадратов двух величин, перейдем к выражению :
M1 ( V12  – V1y 2  )  =  M2 ( V2y 2  - V22  ) .
Раскроем скобки, перенесем нужные члены в другую часть равенства, поделим обе части на 2-двойку и в итоге увидим уравнение :
  +    =    +    .                                                             (И)
Хотите верьте собственным глазам – хотите нет : из базисной табл.Т только что выведено уравнение (И) – искусственное по происхождению, но такому же по виду уравнению в старой энергетике по ошибке был придан смысл уравнения закона сохранения якобы кинетических энергий в виде “живых сил” при ударах тел. В свое время формалисты по сути «с потолка» записали это равенство из-за личной любви к “живым силам”, но только благодаря вскрытому здесь совпадению уравнение (И) подошло для решения задачи на абсолютно упругий удар двух тел, и авторитет “живых сил” случайно (но не навсегда) укрепился. Система (Е-И) двух уравнений напечатана во всех учебниках физики с окончательными формулами (Д) для скоростей двух тел после абсолютно упругого удара. Но как в целом выясняется, в этой системе на самом деле одно первое уравнение (Е) основное, а второе уравнение (И) всего лишь производное и лишенное самостоятельного физического смысла. Наоборот, во всех смыслах полноценным и основным является другое второе уравнение – уравнение (Ж) в объективно основной системе (Е-Ж).

Из всех представленных материалов следует помимо прочего, что «импульс» тела (в уточнениях новой энергетики), как минимум, имеет столько же прав (сколько и “живая сила” тела в старой энергетике), чтобы претендовать на принадлежность физическому понятию «кинетической энергии» тела в материальном мире.